Sgombriamo subito il campo da ogni equivoco: il merito di questo ritorno sul tema va sicuramente agli amici “Claudio” e “Chad”, che sono riusciti nell’ardua impresa di vincere la mia ormai patologica svogliatezza nel rimettermi a fare calcoli. :)
Ci eravamo lasciati con l’ipotesi che la formula $L_2$ potesse essere utilizzata per tutti i casi magici.
L’idea era nata confrontando, per alcune configurazioni del gioco, la formula generale derivata dal lavoro di _Harrison et al. 12 con una sua versione decisamente più semplice:
\[L_2 = 1+\frac{\sum_{i=1}^{m} k_i n p^{i-1}}{p^m}.\]
I risultati ottenuti con il simulatore sembravano confermare l’intuizione. Si trattava però di verifiche su un numero limitato di configurazioni: restava da capire se la formula funzionasse davvero per tutti i casi magici e, soprattutto, perché.
Possiamo ora confermare che è proprio così: nei casi magici la posizione finale della carta è sempre data dalla parte intera di $L_2$.
Ma c’è di più. La formula funziona non soltanto nei casi totalmente magici, ossia nelle configurazioni in cui tutte le possibili sequenze portano a una posizione finale determinata.
Essa è valida anche per le singole sequenze magiche, cioè quelle particolari sequenze di ricomposizioni per le quali la posizione finale della carta non dipende dalla posizione iniziale $x$, anche quando la configurazione nel suo complesso non è magica.
Non si tratta di una semplice approssimazione fortunata, ma di una conseguenza della formula esatta che descrive le ricomposizioni.
Partendo da questa dimostrazione, ricaveremo anche un criterio per riconoscere le sequenze magiche, una condizione per sapere quando lo sono tutte e una formula per contarle in funzione della configurazione.
In un precedente articolo su questo blog sono stati esposti un metodo geometrico ed un metodo analitico per la costruzione/determinazione di una molecola in tassellazioni “flagstone”.
In particolare il metodo geometrico permette agevolmente, attraverso programmi di grafica vettoriale, di costruire una molecola flagstone di forma e dimensioni specifiche.
Tuttavia, se si vuole progettare una intera tassellazione flagstone, formata ad esempio da molecole flagstone differenti, allora l’applicazione del metodo comincia a diventare dispendiosa in termini di tempo,
per via del crescente numero di passaggi ripetitivi.
Da qui è nata l’esigenza di uno strumento che permettesse l’automatizzazione di questi passaggi e fornisse direttamente il crease pattern finale della molecola desiderata;
ossia il software OriFlagTess.
In geometria piana, con il termine tassellazione (o anche “tassellatura”) si indica la copertura del piano con una o più figure geometriche (dette appunto “tasselli”) ripetute all’infinito, senza sovrapposizioni e senza spazi tra esse.
Analogamente, nel mondo origami, vengono chiamate tassellazioni tutti quei modelli formati da “tasselli” uguali (o anche simili) che si ripetono nel piano.
Ogni tassellazione viene sempre realizzata da un unico foglio di carta opportunamente piegato.
A differenza delle tassellazioni geometriche, i tasselli possono essere sia piani che tridimensionali.
E’ da un po’ di tempo che ho ripreso un mio vecchio interesse, vale a dire l’arte di piegare la carta, meglio nota come “Origami”.
Nello specifico ho ricominciato quando, per caso (o forse no), mi imbattei nei lavori di vari artisti, come Robert J. Lang, Tomoko Fuse, Ilan Garibi e altri.
Era chiaro che mi ero perso qualche “passaggio”, ed era il caso di recuperare.
Vediamo di cosa si tratta.
Le origini
Il nuovo corso dell’origami, o Origami 2.0 come mi piace chiamarlo, si sviluppa gradualmente a partire dagli anni 30’ del secolo scorso, grazie al lavoro del giapponese Akira Yoshizawa, il padre dell’origami moderno.
Yoshizawa introdusse tecniche innovative sia nel design che nella realizzazione delle sue opere, molte delle quali vengono utilizzate ancora oggi.
Ad esempio, fu il primo a creare animali a quattro zampe 1 ed a dare tridimensionalità alle sue creazioni.
Inventò la tecnica del wet-folding (vedi paragrafo dedicato), oggi adoperata in molte forme e varianti da tutti gli origamisti esperti.
Non ultimo, si deve a lui l’introduzione di buona parte della notazione simbolica utilizzata oggi per la descrizione delle pieghe di un modello origami,
conosciuta come sistema Yoshizawa-Randlett.
A partire dagli anni 50’ i lavori di Yoshizawa cominciarono ad essere conosciuti anche al di fuori del Giappone,
e così altri artisti cominciarono ad interessarsi a questa nuova concezione più espressionista dell’origami; nella fattispecie ricordiamo il britannico Robert Harbin, ma soprattutto Neal Elias, primo ad usare e rendere popolare la tecnica del box-pleating, molto nota ed attuale oggi, tra le tecniche origami.
Bene, :) concluso il primo post sulle pile di Gergonne, mi erano rimasti ancora dei dubbi su alcuni aspetti della procedura di generalizzazione proposta nel paper di J.Harrison et al.1
Inoltre mancava una parte molto interessante, ossia capire come poter applicare praticamente la formula del paper alle possibili varianti del gioco.
