A distanza di ben nove anni dal precedente approfondimento, rieccoci a parlare delle pile di Gergonne.

Sgombriamo subito il campo da ogni equivoco: il merito di questo ritorno sul tema va sicuramente agli amici “Claudio” e “Chad”, che sono riusciti nell’ardua impresa di vincere la mia ormai patologica svogliatezza nel rimettermi a fare calcoli. :)

Ci eravamo lasciati con l’ipotesi che la formula $L_2$ potesse essere utilizzata per tutti i casi magici.

L’idea era nata confrontando, per alcune configurazioni del gioco, la formula generale derivata dal lavoro di _Harrison et al. ^{1 2} con una sua versione decisamente più semplice:

I risultati ottenuti con il simulatore sembravano confermare l’intuizione. Si trattava però di verifiche su un numero limitato di configurazioni: restava da capire se la formula funzionasse davvero per tutti i casi magici e, soprattutto, perché.

Possiamo ora confermare che è proprio così: nei casi magici la posizione finale della carta è sempre data dalla parte intera di $L_2$.

Ma c’è di più. La formula funziona non soltanto nei casi totalmente magici, ossia nelle configurazioni in cui tutte le possibili sequenze portano a una posizione finale determinata.

Essa è valida anche per le singole sequenze magiche, cioè quelle particolari sequenze di ricomposizioni per le quali la posizione finale della carta non dipende dalla posizione iniziale $x$, anche quando la configurazione nel suo complesso non è magica.

Non si tratta di una semplice approssimazione fortunata, ma di una conseguenza della formula esatta che descrive le ricomposizioni.

Partendo da questa dimostrazione, ricaveremo anche un criterio per riconoscere le sequenze magiche, una condizione per sapere quando lo sono tutte e una formula per contarle in funzione della configurazione.

In un precedente articolo su questo blog sono stati esposti un metodo geometrico ed un metodo analitico per la costruzione/determinazione di una molecola in tassellazioni “flagstone”.
In particolare il metodo geometrico permette agevolmente, attraverso programmi di grafica vettoriale, di costruire una molecola flagstone di forma e dimensioni specifiche.
Tuttavia, se si vuole progettare una intera tassellazione flagstone, formata ad esempio da molecole flagstone differenti, allora l’applicazione del metodo comincia a diventare dispendiosa in termini di tempo, per via del crescente numero di passaggi ripetitivi.
Da qui è nata l’esigenza di uno strumento che permettesse l’automatizzazione di questi passaggi e fornisse direttamente il crease pattern finale della molecola desiderata;
ossia il software OriFlagTess.

In geometria piana, con il termine tassellazione (o anche “tassellatura”) si indica la copertura del piano con una o più figure geometriche (dette appunto “tasselli”) ripetute all’infinito, senza sovrapposizioni e senza spazi tra esse.
Analogamente, nel mondo origami, vengono chiamate tassellazioni tutti quei modelli formati da “tasselli” uguali (o anche simili) che si ripetono nel piano.
Ogni tassellazione viene sempre realizzata da un unico foglio di carta opportunamente piegato.
A differenza delle tassellazioni geometriche, i tasselli possono essere sia piani che tridimensionali.