La matematica dei Veda - Criteri di divisibilità

Mia sorella, di ritorno dall'ennesimo viaggio in India, mi ha portato un libro usato, pagato l'equivalente di un euro, che sto trovando sempre più interessante.
Si tratta di Vedic Mathematics, un testo del 1965 di Bharati Krishna Tirthaji.
Il libro si presenta come una sorta di compendiario della Matematica Vedica, ossia la matematica contenuta nei Veda, un'antichissima raccolta in sanscrito di testi sacri dell'induismo, trasmessa oralmente attraverso i sūtra, un insieme di insegnamenti sotto forma di aforismi¹.
La prima impressione da profano è stata quella di un titolo un po' troppo ambizioso, per cui ho fatto un po' di ricerche qua e là (evitando il confirmation bias), trovando come vi siano articoli critici circa l'origine Vedica della matematica contenuta nel libro²³⁴.
Ad ogni modo, tralasciando la questione vedica, dal mio punto di vista il libro contiene argomenti matematico-ricreativi notevoli, dilettevoli e curiosi (per dirla alla Italo Ghersi), legati all'aritmetica di base ed al calcolo numerico, che vanno da metodi di semplificazione delle 4 operazioni, ai criteri di divisibilità, al calcolo mentale, oltre ad artifici aritmetici vari ed altri "tricks".
Tra l'altro una buona parte dei metodi di calcolo matematico veloce, di cui è disseminato il web, provengono proprio da questo libro, anche se quasi mai citato.

Di seguito l'interessante sezione dedicata ai criteri di divisibiltà.

Divisibilità e osculatori semplici

Siamo al capitolo 29 del libro. I criteri di divisibilità vengono spiegati attraverso ekhadika, osculatori e osculazione. Vediamo di che si tratta utilizzando definizioni ed esempi pratici.

Ekhadika

L'ekhadika di un numero intero positivo $n$ si ottiene attraverso i seguenti passaggi:

1. Si moltiplica $n$ per il più piccolo intero positivo tale che il risultato del prodotto termini con $9$.
2. Si elimina l'ultima cifra ($9$) dal prodotto
3. Si aggiunge $1$ al numero rimanente

Esempio. Consideriamo $n=7$. L'ekhadika di $7$ è pari a $7 \times 7 = 49 \Rightarrow 4+1=5$

Osculazione

L'osculazione di un intero positivo $n$ con un intero positivo $o$ si ottiene con i seguenti passaggi: 1. Si moltiplica $o$ per $n$ 2. Si aggiunge al prodotto ottenuto il numero che si ottiene da $n$ eliminando l'ultima cifra

Esempio. Consideriamo $n=131$ ed $o=5$. L'osculazione di $131$ con $5$ è pari semplicemente a $5\times 1 + 13 = 18$ Il numero $o$ viene detto osculatore.

Ora per determinare se un numero $n$ è divisibile per un primo $p$ qualsiasi maggiore di $5$, c'è bisogno di osculare il numero $n$ con l'ekhadika di $p$ (che in questo caso viene detto osculatore positivo). Se il risultato dell'operazione è un multiplo di $n$, oppure è il numero $n$ stesso, allora $n$ è divisibile per $p$.

Modus operandi dell'osculazione ⁵

Vediamo una applicazione pratica dell'osculazione, che fa uso di semplificazioni e accorgimenti. Supponiamo, ad esempio, di voler conoscere - senza effettuare la divisione - se $2774$ è divisibile per $19$. Scriviamo le cifre del numero in ordine, come mostrato nel seguito. Sappiamo che l'ekhadika di $19$ è $2$ (il nostro osculatore):

• Moltiplichiamo l'ultima cifra del numero ($4$) per $2$, sommiamo il prodotto ottenuto ($8$) alla cifra immediatamente precedente del numero ($7$), e riportiamo il totale ($15$) sotto la seconda cifra a partire da destra

• Moltiplichiamo ora $15$ per $2$, aggiungiamo al prodotto ($30$) la cifra ancora non processata del numero ($7$), e sottraiamo finchè possibile il divisore ($19$) dal risultato ($37$), ottenendo $18$.
  Accorgimento — questo passaggio può essere svolto velocemente osculando dapprima il $15$ stesso, ottenendo $11$, ed aggiuingendo poi la cifra $7$, ottenendo direttamente $18$

• Osculiamo quindi $18$ con l'osculatore $2$, ed aggiungiamo la cifra $2$ del numero al risultato ($36$), ottenendo $38$, oppure come prima possiamo velocizzare osculando direttamente $18$, ottenendo $17$, e aggiungendo poi la cifra $2$ del numero, ottenendo $19$ come risultato finale

e, essendo $19$ divisibile per $19$, possiamo dire che anche il numero dato ($2274$) lo è.

Lo stesso risultato può essere raggiunto attraverso l'osculazione ripetuta di tutto il numero $2774$. Si ha $2 \times 4 + 277 = 285$; osculando di nuovo si ottiene $38$; ed infine $19$.

Osculatori negativi

La procedura di cui sopra, risulta più ostica da applicare nel caso di divisori a 3 o più cifre, perchè si ha a che fare in generale con numeri più grandi. In questi casi si può ricorrere all'utilizzo degli osculatori negativi.

Si tratta di osculatori che permettono poi di effettuare la sottrazione del prodotto, al posto della somma, nell'operazione di osculazione.

L'osculatore negativo di un intero positivo $n$, si ottiene attraverso i seguenti passaggi:

1. Si moltiplica $n$ per il più piccolo intero positivo tale che il risultato del prodotto termini con $1$.
2. Si elimina l'ultima cifra ($1$) dal prodotto

Esempio. Consideriamo $n=47$. L'osculatore negativo di $47$ è pari a $47 \times 3 = 141 \Rightarrow 14$.

Indicando con $P$ l'osculatore positivo e con $Q$ l'osculatore negativo di un divisore $D$, vale la seguente importante proprietà: $P+Q=D$ ossia, la somma dell'osculatore positivo e negativo di un divisore, è uguale al divisore stesso.

Quando si effettua l'osculazione con osculatore negativo, si avrà una alternanza di segni $+$ e $-$ nelle fasi intermedie dell'operazione. Vediamo un esempio.

Supponiamo di voler stabilire – senza effettuare la divisione – se $11234$ è divisibile per $41$. L'osculatore negativo di $41$ è $4$.

1. Moltiplichiamo l'ultima cifra del numero ($4$) per $4$, sottraiamo il prodotto ottenuto ($16$) alla cifra immediatamente precedente del numero ($3$), e riportiamo il totale ($13$) sotto la seconda cifra a partire da destra

1. Moltiplichiamo ora $-13$ per $4$, sottraiamo il prodotto ($-52$) alla cifra ancora non processata del numero ($2$) (ossia $2-(-52)=54$), e sottraiamo finchè possibile il divisore ($41$) dal risultato ($54$), ottenendo $13$. Accorgimento — questo passaggio può essere svolto velocemente osculando dapprima il $-13$ stesso, ottenendo $-(1-3\times4)=11$, ed aggiuingendo poi la cifra $2$, ottenendo direttamente $13$

1. Osculiamo quindi $13$ con l'osculatore $4$, e sottraiamo tale prodotto ($52$) dalla cifra $1$ del numero, ottenendo $51$, oppure come prima possiamo velocizzare osculando direttamente $13$, ottenendo $11$, e sottraendo poi il prodotto dalla cifra $1$ del numero, ottenendo $-10$ come risultato finale

1. Osculiamo infine $-10$ con l'osculatore $4$, e sottraiamo il prodotto ($-40$) dall'ultima cifra del numero non ancora processata, ossia $1$, ottenendo $1-(-40)=41\Rightarrow 0$.

e, essendo $0$ divisibile per $41$, possiamo dire che anche il numero dato ($11234$) lo è.

Lo stesso risultato può essere raggiunto attraverso l'osculazione ripetuta di tutto il numero $11234$. Si ha $1123 - 4 \times 4 = 1107$; osculando di nuovo si ottiene $82$; ed infine $0$.

Questo è quanto. Va detto che i metodi sopra mostrati funzionano bene con divisori ed osculatori relativamente piccoli. Nel caso di numeri molto grandi il libro propone i cosiddetti complex multiplex osculators; ma questo è un altro capitolo…

Nota: appena letto e compreso il metodo dell'osculazione, mi è venuto in mente il criterio generale di divisibilità per un numero primo qualsiasi (eccetto 2 e 5), ideato in modo indipendente dal Prof. Artibano Salerno nel 1986 circa e consultabile sull'omonimo sito. In pratica il metodo del Prof. Salerno corrisponde proprio all'operazione di osculazione negativa! Con tanto di dimostrazione matematica, che invece è omessa nel libro.